Dimostrazione che la somma degli angoli in un triangolo è 180°

Ho disegnato un triangolo qualsiasi qui. E ho dato i nomi agli angoli interni. L'ampiezza di questo angolo è x. Questo è y. Questo è z. E quello che voglio dimostrare è che la somma delle ampiezze degli angoli interni di un triangolo, cioè x + y + z è uguale a 180 gradi. E il modo in cui lo farò è utilizzando le nostre conoscenze sulle rette parallele, o trasversali alle rette parallele, e sugli angoli corrispondenti. E per farlo, prolungo ciascuno di questi lati del triangolo, che ora sono segmenti, ma li prolungo per renderli delle rette. Questo lato qui, se lo prolungo all'infinito nella stessa direzione, ora è una retta arancione. E quello che voglio fare è costruire un'altra retta che sia parallela alla retta arancione e che passi per questo vertice del triangolo. Posso sempre farlo. Posso iniziare da questo punto, e prolungare nella stessa direzione di questa retta, e non si intersecano mai. Non mi avvicino e non mi allontano da questa retta. Così non interseco mai questa retta. Queste due rette qui sono parallele. Questa è parallela a questa. Ora passo agli altri due lati del mio triangolo iniziale e li prolungo in rette. Voglio prolungare questo per avere una retta. Lo faccio più ordinato possibile. Voglio prolungare questo per avere una retta. Vedi che questa è chiaramente trasversale rispetto a queste due rette parallele. Ora, se abbiamo una trasversale a due rette parallele, allora dobbiamo avere un po' di angoli corrispondenti. E vediamo che questo angolo è formato quando la trasversale interseca la retta arancione in basso. Ebbene, qual è l'angolo corrispondente quando la trasversale interseca la retta blu in alto? Qual è l'angolo in alto destra dell'intersezione? L'angolo in alto a destra dell'intersezione deve essere x. L'altra cosa che salta fuori è c'è un altro angolo opposto al vertice rispetto a x, un altro angolo che deve essere equivalente. Sul lato opposto di questa intersezione, hai questo angolo qui. Questi due angoli sono opposti al vertice. Quindi, se questo misura x, allora anche questo deve misurare x. Facciamo la stessa cosa con l'ultimo lato del triangolo che ancora non abbiamo prolungato per avere una retta. Facciamolo. Se prendiamo questo. E continuiamo in avanti. Così diventa una retta. Ora diventa una trasversale a due rette parallele proprio come la retta magenta. E diciamo, ehi guarda questo angolo y qui, questo angolo è formato dall'intersezione della trasversale con la retta parallela in basso. Qual è l'angolo corrispondente qui? Questo è sulla sinistra dell'intersezione. Corrisponde a questo ad angolo qui, dove la retta verde, la trasversale verde interseca la retta parallela blu. E quale angolo è opposto al vertice ad esso? Beh, questo angolo. Anche questo avrà ampiezza y. Quindi ora siamo proprio alla conclusione della nostra dimostrazione perché vediamo che-- abbiamo questo angolo e questo angolo. Questo angolo misura x. Questo ha ampiezza z. Sono angoli adiacenti. Se prendiamo le due semirette esterne che formano l'angolo, e pensiamo a questo angolo qui, qual è l'ampiezza di questo angolo grande qui? Beh, sarà x + z. E questo angolo è suplementare a questo angolo qui che ha misura y. Quindi l'ampiezza x-- la misura di questo angolo grande, che è x + z, più la misura di questo angolo magenta, che è y, deve essere uguale a 180 gradi perché questi due angoli sono supplementari. Quindi x-- l'ampiezza dell'angolo grande, x + z, più l'ampiezza dell'angolo magenta, che è supplementare all'angolo grande, deve essere pari a 180 gradi perché sono supplementari. Bene, possiamo riordinare le cose se vogliamo metterlo in ordine alfabetico. Ma abbiamo appena completato la nostra dimostrazione. La misura del angoli interni del triangolo, x + z + y. Potremmo scriverlo come x + y + z se la mancanza di ordine alfabetico ti mette a disagio. Possiamo riscriverlo come x + y + z è uguale a 180 gradi. E abbiamo finito.