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Nozioni fondamentali di algebra
Corso: Nozioni fondamentali di algebra > Unità 7
Lesson 2: Angoli del triangoloDimostrazione che la somma degli angoli in un triangolo è 180°
Impara la dimostrazione formale che mostra che la somma delle misure degli angoli interni di un triangolo corrisponde a 180°. Creato da Sal Khan.
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Trascrizione del video
Ho disegnato un triangolo qualsiasi qui. E ho dato i nomi agli angoli interni. L'ampiezza di questo angolo è x. Questo è y. Questo è z. E quello che voglio
dimostrare è che la somma delle ampiezze degli angoli
interni di un triangolo, cioè x + y + z è uguale a 180 gradi. E il modo in cui lo farò è utilizzando le nostre
conoscenze sulle rette parallele, o trasversali alle rette parallele, e sugli angoli corrispondenti. E per farlo, prolungo ciascuno di questi lati del
triangolo, che ora sono segmenti, ma
li prolungo per renderli delle rette. Questo lato qui, se lo prolungo all'infinito nella stessa direzione, ora è una retta arancione. E quello che voglio fare è
costruire un'altra retta che sia parallela alla
retta arancione e che passi per questo vertice del triangolo. Posso sempre farlo. Posso iniziare
da questo punto, e prolungare nella stessa
direzione di questa retta, e non si intersecano mai. Non mi avvicino e non
mi allontano da questa retta. Così non interseco mai questa retta. Queste due rette
qui sono parallele. Questa è parallela a questa. Ora passo agli altri due lati del mio triangolo iniziale
e li prolungo in rette. Voglio prolungare questo
per avere una retta. Lo faccio più ordinato possibile. Voglio prolungare questo
per avere una retta. Vedi che questa è chiaramente
trasversale rispetto a queste due rette parallele. Ora, se abbiamo una trasversale
a due rette parallele, allora dobbiamo avere un po'
di angoli corrispondenti. E vediamo che
questo angolo è formato quando la trasversale interseca
la retta arancione in basso. Ebbene, qual è l'angolo corrispondente quando la trasversale
interseca la retta blu in alto? Qual è l'angolo in alto
destra dell'intersezione? L'angolo in alto a destra
dell'intersezione deve essere x. L'altra cosa che salta fuori è c'è un altro angolo
opposto al vertice rispetto a x, un altro angolo che
deve essere equivalente. Sul lato opposto
di questa intersezione, hai questo angolo qui. Questi due angoli
sono opposti al vertice. Quindi, se questo
misura x, allora anche questo deve misurare x. Facciamo la stessa cosa con
l'ultimo lato del triangolo che ancora non abbiamo
prolungato per avere una retta. Facciamolo. Se prendiamo questo. E continuiamo in avanti. Così diventa una retta. Ora diventa una trasversale
a due rette parallele proprio come la retta magenta. E diciamo, ehi guarda
questo angolo y qui, questo angolo è formato
dall'intersezione della trasversale con la retta parallela in basso. Qual è l'angolo corrispondente qui? Questo è sulla
sinistra dell'intersezione. Corrisponde a questo
ad angolo qui, dove la retta verde,
la trasversale verde interseca la
retta parallela blu. E quale angolo è
opposto al vertice ad esso? Beh, questo angolo. Anche questo avrà ampiezza y. Quindi ora siamo proprio alla
conclusione della nostra dimostrazione perché vediamo che-- abbiamo questo angolo e questo angolo. Questo angolo misura x. Questo ha ampiezza z. Sono angoli adiacenti. Se prendiamo le due semirette
esterne che formano l'angolo, e pensiamo a questo angolo qui, qual è l'ampiezza di questo
angolo grande qui? Beh, sarà x + z. E questo angolo è suplementare
a questo angolo qui che ha misura y. Quindi l'ampiezza x-- la misura di questo angolo
grande, che è x + z, più la misura di questo
angolo magenta, che è y, deve essere uguale a 180
gradi perché questi due angoli sono supplementari. Quindi x-- l'ampiezza
dell'angolo grande, x + z, più l'ampiezza dell'angolo magenta, che è supplementare all'angolo grande, deve essere pari a 180 gradi
perché sono supplementari. Bene, possiamo riordinare le cose se vogliamo metterlo
in ordine alfabetico. Ma abbiamo appena
completato la nostra dimostrazione. La misura del
angoli interni del triangolo, x + z + y. Potremmo scriverlo
come x + y + z se la mancanza di
ordine alfabetico ti mette a disagio. Possiamo riscriverlo
come x + y + z è uguale a 180 gradi. E abbiamo finito.