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Altri esempi di prodotti notevoli

Trascrizione del video

Prodotti notevoli dei binomi Ora ho intenzione di fare svariati esempi riguardanti Probabilmente i due più classici tipi di moltiplicazione di polinomi che avrai sicuramente modo di vedere nell'algebra. Il primo è solo un binomio elevato alla seconda. Quindi se ho x più 9 al quadrato, so che sarai tentato di oh, ma quello non è x al quadrato più 9 al quadrato- A quel punto ti dirò: no, non lo è. Devi resistere ad ogni possibile tentazione di fare così. Non è x al quadrato più 9 al quadrato. Ricorda, x più 9 al quadrato, equivale a x più 9 per x più 9. Questa è la moltiplicazione di questo binomio per se stesso. Devi sempre ricordarlo. E’ molto facile pensare che si tratta solamente di x al quadrato più 9 al quadrato, ma no, devi ampliare l’operazione. Ora che l'abbiamo fatto, possiamo usare alcune delle abilità che abbiamo imparato nell'ultimo video per moltiplicarlo. E per mostrare che noi possiamo farlo nel modo in cui abbiamo moltiplicato il trinomio l'ultima volta, moltiplichiamo x più 9 per 9. x più un 9 rosso. Lo sto facendo in questo modo solo per mostrarvi quando moltiplico per questo 9 rispetto a questa x. Facciamolo e basta. Quindi, 9 per 9 fa 81. Mettiamolo nel punto delle costanti 9 volte x fa 9x. Allora abbiamo-- cambiamo con questo termine x-- abbiamo una x gialla. x per 9x è 9x. Mettiamolo nel primo spazio del grado. x per x è x al quadrato. , E poi sommiamo il tutto. Ora otteniamo x al quadrato più 18x più 81. Quindi questo corrisponde a x al quadrato più 18x più 81. Ora dovresti vedere una specie di modello qui e io te lo renderò chiaro tra un secondo. Ma quando eleviamo alla seconda un binomio, che cosa succede? Hai x quadro. Hai questa x moltiplicata per x, che ti dà x al quadrato Hai il 9 moltiplicato per 9, che corrisponde a 81. Ed ora abbiamo questo termine qui, che è 18x. Come abbiamo ottenuto quel 18x Allora, abbiamo moltiplicato questa x per 9 per ottenere 9x e poi abbiamo moltiplicato questo 9 per x per ottenere un altro 9x. Allora, abbiamo moltiplicato questa x per 9 per ottenere 9x e poi abbiamo Quindi, in generale, ogni volta che si ha un binomio al quadrato-- permettetemi di fare in questo modo Lo farò in modo generico. Diciamo di avere a più b al quadrato. , Fatemelo moltiplicare in questo modo di nuovo, solo per farvi capire bene come funziona. Questo corrisponde ad a più b per a più b che riporto là in verde Quindi abbiamo b per b, che dà b al quadrato. Assumiamo che questo sia un termine costante. Metterò la b al quadrato proprio lì Sto assumendo che sia una costante Quindi se questa fosse una costante, questo sarebbe analogo al nostro 81. a è una variabile che -- lasciatemelo cambiare in meglio-- Fatemi rendere questo un x più b alla seconda, sempre assumendo che b sia una costante, Quindi sarebbe x più b per x più una b verde, proprio lì. Quindi assumendo che b sia una costante, b per b dà b al quadrato. b per x è bx. Ora calcoleremo la x rossa. x per b è bx. Ora x per x da x al quadrato. Quindi quando sommiamo tutto, rimaniamo con x al quadrato più 2bx, più b al quadrato. Quindi quello che vediamo, il prodotto finale, è quello che otteniamo con x più b al quadrato, è x al quadrato più 2 per il prodotto di x e b, più b al quadrato Dando per scontato questo modello, facciamone altri così. m Lì farò in modo veloce. .Quindi 3x meno 7 al quadrato. Ricordati ciò che ti ho detto Beh diciamo che non devi ricordarlo, ma devi Darlo per scontato. Se dovessi moltiplicarlo, usando la proprietà distributiva due volte, sapresti che otterresti la stessa risposta. Quindi questo corrisponderà a 3x al quadrato più 2 volte 3x moltiplicato per meno 7. Giusto? Noi sappiamo che è 2 volte ogni il prodotto di questi termini, più meno 7 al quadrato. Se usiamo la nostra regola del prodotto qua, 3x al quadrato equivale a 9x alla seconda. - - Proprio questo, otterrai un 2 per un 3, che è 6, per un meno 7, che è un meno 42x. E poi un meno 7 al quadrato fa più 49. Quello era il modo veloce. E solo per assicurarmi che non stia facendo niente di strano, lasciamelo rifare nel modo lento 3x meno 7, per 3x meno 7. Meno 7 per meno 7 dà più 49. Meno 7 per 3x dà meno 21x. 3x per meno 7 fa meno 21x. 3x per 3x fa 9x alla seconda. Spostiamoci un poco a sinistra. Aggiungiamo tutto. Ti rimangono 9x al quadrato, meno 42x, più 49. Quindi abbiamo sicuramente ottenuto la stessa risposta. Facciamone un altro, e lo faremo nel modo veloce. Quindi se abbiamo 8x meno 3—a dir la verità, ne faccio uno che abbia più variabili- Diciamo di avere 4x al quadrato più y al quadrato, e di volere elevarlo alla seconda. Beh, la stessa cosa. Questo corrisponderà a questo termine al quadrato, 4x quadro, al quadrato, più 2 per il prodotto di entrambi i termini, 2 per 4x quadro per y quadro, più y quadro, a sua volta quest’ultimo termine, al quadrato. A quanto corrisponderà questo? Questo corrisponderà a 16-- giusto, 4 al quadrato fa 16-- x quadro, al quadrato, ovvero 2 per 2, quindi è x elevato alla quarta potenza. Poi sommiamo 2 per 4 per 1, ovvero 8x quadro y quadro. Quindi y quadro, al quadrato, equivale a y elevato alla quarta. Ora, finora abbiamo visto il quadrato di un binomio. Il prossimo esempio che voglio mostrarvi è quando voglio prendere il prodotto di una somma ed di una sottrazione. E questo viene fuori proprio bene. Quindi farò un esempio molto generale. Facciamo solo a più b per a meno b A quanto corrisponderà questo? Questo corrisponderà ad a per a-- lasciameli fare con colori diversi-- quindi a meno b, proprio come quello. Quindi sarà questa a verde per questa a rossa, a per a, più, o forse dovrei dire meno, la a verde per b. Ho ottenuto il meno proprio da qui Ora useremo la b verde, quindi più la b verde meno la a magenta. Sto solo moltiplicando ogni termine per ogni termine. Alla fine meno la b verde-- è da lì che viene il meno-- meno la b verde per la b magenta. Quanto farà? Questo farà a al quadrato, poi questo farà meno ab. Questo può essere riscritto come più ab, poi abbiamo meno b al quadrato. Questi qui si eliminano, meno ab più ab, e quindi rimani con a al quadrato meno b al quadrato. Che è un risultato molto chiaro dato che semplifica veramente tutto Usiamo quindi quella nozione per fare qualche moltiplicazione. Quindi se diciamo 2x meno 1, per 2x più uno. Beh, sono la stessa cosa. Il 2x più 1, puoi vederlo come se fosse, se preferisci, a più b, ed il 2x meno 1, puoi vederlo come a meno b, dove questa è a e quella b è 1. Questa è b. Questa è a. Sto solo usando quel modello che abbiamo appena visto. Quindi quale sarà il risultato? Sarà a al quadrato, sarà 2x al quadrato, meno b al quadrato, meno 1 al quadrato. 2x al quadrato è 4x quadro. 1 al quadrato è solo 1, quindi meno 1. Corrisponderà quindi a 4x quadro meno 1. Facciamone un'altra di queste, solo per comprendere definitivamente questo argomento. , Mi concentrerò sulla moltiplicazione d’ora in poi. Se ho 5a meno 2b, e lo sto moltiplicando per 5a più 2b. Ricorda, questo si applica solamente quando ho un prodotto di una somma ed di una sottrazione. Questo è l'unico caso in cui userò questo metodo. E ti ho mostrato perchè. Ma se hai un dubbio, moltiplica semplicemente il tutto. Ti ci vorrà un po’ più tempo. E vedrai che dei termini che si annullano. Non puoi fare così per ogni moltiplicazione di binomi. L'hai visto all'inizio del video, quando stavamo Facendo moltiplicazioni e stavamo elevando al quadrato. Quindi usando il modello, il risultato sarà 5a al quadrato meno 2b al quadrato, che equivale a 25 a quadro meno 4b quadro. Ecco, ci fermiamo qua, e ci vediamo nel prossimo video.