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Algebra I

Corso: Algebra I > Unità 9

Lesson 1: Sistemi equivalenti di equazioni e metodo di eliminazione
Matematica
Algebra I
Sistemi di equazioni
Sistemi equivalenti di equazioni e metodo di eliminazione
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Metodo di eliminazione (sistemi di equazioni lineari)

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Il metodo di eliminazione è una tecnica per risolvere sistemi di equazioni lineari. Questo articolo rivede la tecnica con esempi e ti dà anche la possibilità di provare il metodo tu stesso.

Cos'è il metodo di eliminazione?

Il metodo di eliminazione è una tecnica per risolvere sistemi di equazioni lineari. Studiamolo attraverso un paio di esempi.

Esempio 1

Ci viene chiesto di risolvere questo sistema di equazioni:
2y+7x=−55y−7x=12\begin{aligned} 2y+7x &= -5\\\\ 5y-7x &= 12 \end{aligned}
Notiamo che la prima equazione ha un termine 7, x e la seconda equazione ha un termine minus, 7, x. Questi termini verranno annullati se sommiamo le equazioni insieme, ovvero elimineremo i termini in x:
2y+7x=−5+ 5y−7x=127y+0=7\begin{aligned} 2y+\redD{7x} &= -5 \\ +~5y\redD{-7x}&=12\\ \hline\\ 7y+0 &=7 \end{aligned}
Risolvendo per y, otteniamo:
7y+0=77y=7y=1\begin{aligned} 7y+0 &=7\\\\ 7y &=7\\\\ y &=\goldD{1} \end{aligned}
Inserendo questo valore nella nostra prima equazione, risolviamo l'altra variabile:
2y+7x=−52⋅1+7x=−52+7x=−57x=−7x=−1\begin{aligned} 2y+7x &= -5\\\\ 2\cdot \goldD{1}+7x &= -5\\\\ 2+7x&=-5\\\\ 7x&=-7\\\\ x&=\blueD{-1} \end{aligned}
La soluzione al sistema è x, equals, start color #11accd, minus, 1, end color #11accd, y, equals, start color #e07d10, 1, end color #e07d10.
Possiamo verificare la nostra soluzione inserendo questi valori nelle equazioni originali. Proviamo la seconda equazione:
5y−7x=125⋅1−7(−1)=?125+7=12\begin{aligned} 5y-7x &= 12\\\\ 5\cdot\goldD{1}-7(\blueD{-1}) &\stackrel ?= 12\\\\ 5+7 &= 12 \end{aligned}
Sì, la soluzione è corretta.
Se non ti senti sicuro sul perchè questo processo funzioni, guarda questo video introduttivo per avere una spiegazione completa.

Esempio 2

Ci viene chiesto di risolvere questo sistema di equazioni:
−9y+4x−20=0−7y+16x−80=0\begin{aligned} -9y+4x - 20&=0\\\\ -7y+16x-80&=0 \end{aligned}
Possiamo moltiplicare la prima equazione per minus, 4 in modo da ottenere un'equazione equivalente che ha un termine start color #7854ab, minus, 16, x, end color #7854ab. Il nostro nuovo (ma equivalente!) sistema di equazioni sarà questo:
36y−16x+80=0−7y+16x−80=0\begin{aligned} 36y\purpleD{-16x}+80&=0\\\\ -7y+16x-80&=0 \end{aligned}
Sommando le equazioni per eliminare i termini in x, otteniamo:
36y−16x+80=0+ −7y+16x−80=029y+0−0=0\begin{aligned} 36y-\redD{16x} +80&=0 \\ {+}~-7y+\redD{16x}-80&=0\\ \hline\\ 29y+0 -0&=0 \end{aligned}
Risolvendo per y, otteniamo:
29y+0−0=029y=0y=0\begin{aligned} 29y+0 -0&=0 \\\\ 29y&=0 \\\\ y&=\goldD 0 \end{aligned}
Inserendo questo valore nella nostra prima equazione, risolviamo l'altra variabile:
36y−16x+80=036⋅0−16x+80=0−16x+80=0−16x=−80x=5\begin{aligned} 36y-16x+80&=0\\\\ 36\cdot 0-16x+80&=0\\\\ -16x+80&=0\\\\ -16x&=-80\\\\ x&=\blueD{5} \end{aligned}
La soluzione al sistema è x, equals, start color #11accd, 5, end color #11accd, y, equals, start color #e07d10, 0, end color #e07d10.
Vuoi vedere un altro esempio di come risolvere un problema complicato con il metodo di eliminazione? Guarda questo video.

Esercitazione

Problema 1
  • Corrente
Risolvi il seguente sistema di equazioni.
3x+8y=152x−8y=10\begin{aligned} 3x+8y &= 15\\\\ 2x-8y &= 10 \end{aligned}
x, equals
  • La tua risposta dovrebbe essere
  • un valore intero, come 6
  • una frazione * propria * semplificata, come 3, slash, 5
  • una frazione propria semplificata come 7, slash, 4
  • un numero misto, come 1, space, 3, slash, 4
  • un decimale * esatto * come 0, comma, 75
  • un multiplo di pi, come \text{pi}12, space o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
y, equals
  • La tua risposta dovrebbe essere
  • un valore intero, come 6
  • una frazione * propria * semplificata, come 3, slash, 5
  • una frazione propria semplificata come 7, slash, 4
  • un numero misto, come 1, space, 3, slash, 4
  • un decimale * esatto * come 0, comma, 75
  • un multiplo di pi, come \text{pi}12, space o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

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