Termini e definizioni in geometria

Quello che voglio fare in questo video è introdurre i termini che si usano quando parliamo di geometria e penso che il modo migliore di iniziare sia pensare a cosa vuol dire geometria. Come forse vedi, nella prima parte della parola geometria, c'è la radice geo. La stessa radice che trovi in parole come geografia e geologia, e geo si riferisce alla Terra (la mia e sembra una c qui) si riferisce alla Terra. E poi vedi questa parte, "metria". E "metria" la trovi anche in parole come trigonometria. "Metria" o il sistema metrico vengono dal concetto di misura, dalla misura. Quando qualcuno parla di geometria, la parola stessa viene da misurazione della Terra. E non è un nome sbagliato perché la geometria è una materia molto generale. La geometria è proprio lo studio che serve a capire come le forme, lo spazio e le cose che vediamo sono in relazione tra loro. Quando inizi a studiare geometria, impari cosa sono le rette, i triangoli, i cerchi, e gli angoli. Noi definiremo tutte queste cose in modo più preciso più avanti, ma anche cose come modelli e forme tridimensionali. Praticamente tutto ciò che vediamo, tutte le cose matematiche che capiamo, possono in qualche modo essere racchiuse nella geometria. Dopo questa introduzione, iniziamo dalle basi Le basi della geometria, e poi andremo avanti. Iniziamo con il punto. Questo punto qui è semplicemente un punto, un piccolo punto sullo schermo davanti a te, e lo chiamiamo proprio "punto". E questa è una definizione. La cosa divertente della matematica è che puoi fare le definizioni. Avremmo potuto chiamarlo "armadillo", ma decidiamo di chiamarlo "punto", e ha senso, perché è così che lo chiamiamo nella vita di tutti i giorni. Questo è un punto. Quello che è interessante è che il punto è solo una posizione, cioè non ti puoi muovere su un punto. Se ti muovi, se prima eri in questo punto, e ti muovi in una direzione qualsiasi, non sei più in quel punto. Quindi non puoi muoverti su un punto. Ci sono differenze tra i punti. Ad esempio, ecco qui un punto. E magari ho un altro punto qui e poi un altro punto qui e poi un altro punto qui giù. E tu vuoi essere in grado di identificare i diversi punti. Non tutti hanno il lusso di avere una penna colorata come la mia, perché potrebbero dire "il punto verde", "il punto blu", "il punto rosa". In geometria, per identificare i punti diamo loro un nome, in genere in lettere. Ad esempio, questo è il punto A, questo è il punto B, questo è il punto C, e questo qui è il punto D. Allora se qualcuno dice "fai un cerchio sul punto C", tu sai quale punto è. Sai che devi cerchiare proprio questo punto qui. Finora sembra interessante. Hai queste cose chiamate punti, non ti puoi muovere su un punto, specificano solo una posizione. Ma se vogliamo muoverci? Se vogliamo andare da un punto a un altro? Cosa succede se iniziamo in un punto e vogliamo passare su tutti i punti, compreso il punto di partenza, su tutti i punti che collegano quel punto a un altro punto? Tutti questi punti qui, come chiamiamo questa cosa? Tutti i punti che collegano A a B su un percorso dritto, e uso il linguaggio di tutti i giorni, lungo una specie di linea dritta così. Questo si chiama segmento di retta. Nel linguaggio comune forse la chiami linea. Ma in geometria si chiama segmento di retta. Quando parliamo in linguaggio matematico, una linea è qualcosa di diverso da questo. Questo è un segmento di retta, e se colleghiamo D e C, anche questo è un segmento di retta. Un segmento di retta. E di nuovo, visto che non abbiamo sempre il lusso di avere i colori, questo è il segmento arancione e questo è il segmento giallo. Ma vogliamo avere dei nomi per questi segmenti di retta e il modo migliore di chiamare un segmento di retta è con i suoi estremi. Ed ecco un'altra parola. Un punto è semplicemente A o B. Ma A e B sono anche gli estremi di questo segmento di retta perché inizia e finisce rispettivamente in A e in B. Lo scrivo: A e B. A e B sono estremi. Un'altra definizione qui. Potevamo anche chiamarli "formichieri" o "armadilli finali" ma, come matematici, decidiamo di chiamarti estremi perché sembra un nome adatto. Ma abbiamo bisogno di un modo di chiamare questi segmenti di retta, con questi estremi, e il modo migliore di chiamare un segmento di retta è proprio con i suoi estremi. Allora chiamiamo questo segmento di retta qui, mettiamo i suoi estremi, e per mostrare che è un segmento di retta, gli disegniamo una linea sopra, così. Questo segmento di retta qui giù, lo indichiamo in questo modo ma potevamo anche scriverlo così: CD con una linea sopra. È lo stesso segmento di retta, BA con una linea sopra si riferisce allo stesso segmento di retta E ora potresti dire "ma non sono soddisfatto" "di viaggiare solo tra A e B" E questa è un'altra idea interessante: quando eri solo su A, quando eri solo su un punto e non potevi muoverti per niente, non potevi muoverti in nessuna direzione, se non volevi uscire da quel punto, vuol dire che avevi zero opzioni di movimento. Non potevi andare su, giù, a destra, a sinistra, dentro o fuori dal foglio, restando sempre su quel punto. Ecco perché diciamo che un punto ha zero dimensioni. Zero dimensioni. Ma, improvvisamente, abbiamo questo segmento di retta. E lungo questo segmento di retta possiamo almeno andare a destra e a sinistra. Possiamo andare verso A o verso B, cioè puoi andare avanti e indietro in una dimensione. Allora il segmento di retta è un'idea con una dimensione. È un oggetto in una dimensione, anche se queste sembrano idee astratte. Il segmento di retta non è perfetto. Perché non puoi muoverti ovunque sopra un segmento di retta, non puoi andare in alto o in basso, restando sul segmento di retta. Ma nella realtà niente è esattamente un segmento di retta. Anche, un bastoncino, un bastoncino molto sottile, o un nastro, avranno sempre un po' di larghezza, ma il segmento di retta in geometria non ha larghezza. Ha solo una lunghezza, quindi ti puoi muovere solo sul segmento di retta ed ecco perché diciamo che ha una dimensione. Su un punto non puoi muoverti per niente. Su un segmento di retta puoi muoverti solo avanti e indietro sempre nella stessa direzione. Ti ho appena detto che hai una lunghezza. Come ci riferiamo alla lunghezza? Ci riferiamo alla lunghezza senza scrivere la linea sopra, quindi se scrivo AB con la linea sopra, così, vuol dire che mi riferisco proprio al segmento di retta. Se invece... (cambio colore) Se dico che AB è uguale a 5 unità, possono essere centimetri o metri o quello che vuoi, comunque sono 5 unità, vuol dire che la distanza tra A e B è 5. La lunghezza del segmento di retta AB è 5. Ma andiamo avanti. Diciamo che vogliamo continuare a muoverci in una direzione. Diciamo che parto da A. (Cambio colore) Diciamo che parto da A e voglio arrivare a D, ma voglio poter continuare all'infinito. Nella direzione di A, ora non posso oltrepassare A ma posso andare avanti nella direzione di D. L'idea che ti sto mostrando è: questo è un segmento di retta, ma posso continuare ad andare anche oltre questo estremo. Questo oggetto si chiama semiretta. Il punto iniziale della semiretta si chiama origine. Non è un termine che vedrai molto spesso, ma lo incontrerai, ed è utile conoscerlo. Questa è l'origine della semiretta. Ma non è l'origine del segmento di retta quindi forse non dovrei scriverlo. Quello che è interessante della semiretta è che è ancora un oggetto in una dimensione, ma continua all'infinito in una direzione, superando uno degli estremi. Per identificare una semiretta, la chiamiamo AD e mettiamo questa freccia sopra per mostrare che è una semiretta. E in questo caso è importante l'ordine in cui mettiamo le lettere. Se metto DA come semiretta, questa è una semiretta diversa. Vuol dire che iniziamo a D e poi possiamo superare A. Perciò questa non è la semiretta DA, ma è la semiretta AD. L'ultima idea a cui sono sicuro che tu starai già pensando è: cosa succede se posso continuare all'infinito in entrambe le direzioni? Diciamo che posso continuare all'infinito. Il mio schema sta diventando disordinato. Mettiamo qualche altro punto. Diciamo che ho il punto E e il punto F qui e diciamo che ho questo oggetto che può attraversare sia E che F. Continua in entrambe le direzioni. In termini geometrici, questa si chiama retta. Ora sai che una retta non finisce mai, puoi continuare all'infinito in entrambe le direzioni. Un segmento di retta invece finisce, ha due estremi. Una retta no. In realtà un segmento di retta può essere chiamato segmento. E identifichi la retta EF con queste frecce, in questo modo. Le cose che vedrai più di tutte studiando geometria sono queste qui, perché ci preoccuperemo dei lati delle figure, delle distanze tra punti,... E stiamo parlando di queste cose: cose che hanno una lunghezza finita, cose che hanno una lunghezza, non continuano all'infinito in una o in due direzioni, cioè parliamo di segmenti o segmenti di retta. Ora, se torniamo ai segmenti di retta, per continuare a introdurre parole nuove che puoi trovare in geometria, se torniamo a parlare della retta, questo è come disegno una semiretta. Diciamo che ho un punto X e un punto Y e questo è il segmento XY. E lo posso identificare in questo modo. Se ho un altro punto, diciamo che ho un altro punto qui, chiamiamolo punto Z, e introduco un'altra parola, X, Y e Z si trovano sulla stessa retta, se immagini la retta che continua all'infinito. Allora possiamo dire che X, Y e Z sono allineati. Questi tre punti sono allineati. Si trovano tutti sulla stessa retta, o anche, si trovano tutti sullo stesso segmento di retta XY. Ora facciamo finta di sapere che XZ è uguale a ZY. E sono tutti allineati. Allora vuol dire che ci stanno dicendo che la distanza tra X e Z è uguale alla distanza tra Z e Y. A volte puoi segnarlo in questo modo: questa distanza è uguale a questa distanza qui, e questo ci dice che Z si trova esattamente a metà tra X e Y. In questo caso, Z si chiama punto medio, è il punto medio del segmento di retta XY, perché Z si trova esattamente a metà. E ora per finire abbiamo parlato di cose con zero dimensioni, i punti; abbiamo parlato di cose con una dimensione, come la retta, il segmento di retta e la semiretta; E tu potresti chiederti: "cos'è che ha 2 dimensioni?" Per avere due dimensioni vuol dire che posso andare avanti e indietro in due diverse direzioni perciò questa pagina o questo video, anzi, lo schermo che stai guardando è un oggetto in due dimensioni, posso andare da destra a sinistra, ed è una direzione, e posso andare su e giù. Quindi la superficie dello schermo che tu stai guardando ha proprio due dimensioni. Puoi andare avanti e indietro in due direzioni. E le cose che hanno due dimensioni sono piane, si chiamano piani. Se prendi un foglio di carta, e immagini che continua all'infinito in tutte le direzioni, quello, in senso geometrico, è un piano. Il foglio di carta da solo, che è un oggetto finito, e non sentirai mai una cosa del genere in una lezione di geometria, ma immagino che potremmo fare un'analogia, e chiamare il foglio di carta, forse, un "segmento di piano", perché è un segmento, cioè una parte, di un intero piano. Se tu hai una terza dimensione, allora puoi parlare dello spazio tridimensionale. In tre dimensioni, non solo puoi muoverti da sinistra a destra sullo schermo, o su e giù, puoi muoverti anche fuori e dentro lo schermo. Provo a disegnarlo... Puoi andare dentro lo schermo, o poi uscire dallo schermo così. E andando avanti in matematica, anche se sono cose molto difficili da immaginare, vedrai che possiamo studiare cose che hanno anche più di tre dimensioni.