Problema impegnativo sugli angoli di un triangolo

Ora, questo sembra un problema interessante. Abbiamo questo poligono. E sembra un pentagono, perché ha cinque lati. Si tratta di un pentagono irregolare. Non tutti i lati hanno la stessa lunghezza. E i lati sono stati prolungati. E abbiamo questi particolari angoli esterni di questo Pentagono. E quello che ci viene chiesto è qual è la somma di tutti questi angoli esterni. Ed è un po' scoraggiante, perché non ci danno nessun'altra informazione. Non ci danno nessun angolo particolare. Non ci dicono da dove iniziare. Allora quello che possiamo fare, pensiamo a una cosa alla volta, in base a ciò che sappiamo. Bene, abbiamo questi angoli esterni. E questi esterni angoli, sono ciascuno il supplementare di qualche angolo interno. Quindi forse se possiamo esprimerli in funzione degli angoli interni, forse riusciamo a scrivere questo problema in un modo che sembri un po' più fattibile. Quindi cerchiamo di scrivere i nostri angoli interni qui. Siamo arrivati a e. Questo lo chiamiamo f, questo angolo interno è f. Questo angolo interno lo chiamiamo g. Questo angolo interno lo chiamiamo h. Questo i. E questo j. La somma di questi particolari angoli esterni, ora è uguale a 180 meno g, perché a e g sono supplementari. a è 180 meno g. E poi abbiamo più b. Ma b possiamo scriverlo in termini di questo angolo interno. Sarà 180 meno h, perché questi due angoli di nuovo sono supplementari. Lo facciamo in un nuovo colore. Perciò questo sarà 180 meno h. E possiamo fare la stessa cosa per ciascuno di essi. c lo possiamo scrivere come 180 meno i, quindi più 180 meno i. E poi d, possiamo scriverlo come 180 meno j, quindi più 180 meno j. E poi finalmente e, e sto finendo i colori, e lo possiamo scrivere come 180 meno f, quindi più 180 meno f. E così, quello che ci rimane, se sommiamo tutti i 180, abbiamo 180 5 volte. Quindi sarà uguale a 5 per 180, che fa 900. E poi ci sono meno g, meno h, meno i, meno j, meno f. Oppure possiamo scrivere meno -- provo a usare gli stessi colori-- g più h-- Ho tirato fuori il segno meno-- più h-- lo faccio dello stesso colore di g, questo non è lo stesso colore-- g più h, più i, più j, più f. E il motivo per cui ho fatto questo e perché ora è interessante, è che abbiamo espresso questa prima cosa che dobbiamo trovare. L'abbiamo espressa in termini della somma degli angoli interni. Quindi sarà 900 meno tutta questa roba. 900 meno tutto questo, che è la somma della angoli interni. Questa è la somma degli angoli interni. Quindi sembra che abbiamo fatto qualche progresso, almeno se possiamo trovare la somma degli angoli interni. E per farlo, ti mostro un trucco. Bisogna dividere questo poligono, l'interno del poligono, in tre triangoli che non si sovrappongono. Possiamo partire da un lato qualunque. Diciamo che escono da questo lato destro quaggiù. Ecco. Lo divido-- uso un colore neutro, Uso il bianco -- ecco un triangolo proprio qui. E poi un altro triangolo così. Ecco qui. L'ho diviso in tre triangoli che non si sovrappongono. E la ragione per cui ho l'ho fatto, il motivo per cui questo è utile, è che conosciamo la somma degli angoli di un triangolo. E perchè ci sia utile, dobbiamo esprimere questi angoli in termini di angoli che siamo in grado di trovare in base al fatto che la somma degli angoli o le ampiezze degli angoli in un triangolo è 180. Quindi g è uno degli angoli del triangolo. f è costituito da due angoli nel triangolo. Quindi ricorda, f è tutto l'angolo qui. Quindi dividiamo f in altri due angoli, o altre due ampiezze di angoli, dovrei dire. Diciamo che f è uguale a-- siamo arrivati a, vediamo, a, b, c, d, e, f, g, h, i, j-- non abbiamo ancora utilizzato k. Quindi diciamo che f è uguale a k più l. È la somma delle misure di questi due angoli adiacenti qui. Quindi f è uguale a k più l. Iin questo modo lo abbiamo diviso in angoli di questi triangoli. E possiamo farlo anche con j, perché j, di nuovo, è tutto questo. Allora j è uguale a-- vediamo, abbiamo già usato l. Quindi diciamo che j è uguale a m + n. E poi finalmente, dividiamo h. h è qui. Ricorda, è tutta questa cosa. Diciamo che h è uguale a o più p più q. Questo è o, questo è p, questo è q. E ancora una volta, ho voluto dividere questi angoli interni se non sono già un angolo di un triangolo. Voglio dividerli in angoli che appartengano a questi triangoli. Abbiamo h è uguale o, più p, q più. E la ragione per cui Interessante è che ora possiamo scrivere la somma di questi angoli interni come somma di un mucchio di angoli che fanno parte di questi triangoli. E poi possiamo usare il fatto che, per qualsiasi triangolo, la somma è 180 gradi. Facciamolo. Questa espressione sarà g. g è questo angolo qui. Non abbiamo fatto sostituzioni. Quindi g -- in realtà, scrivo tutto. 900 meno, e invece di g, beh, in realtà io non sto facendo una sostituzione, posso scrivere g più, e invece di h posso scrivere che h è o più p più q. E poi, più i. i sta qui. Più i. E poi, più j. Ho un po' pasticciato con i colori. Il magenta va con i. E poi j è questa espressione qui. Quindi j è uguale a m più n, invece di scrivere j. E poi finalmente, abbiamo la nostra f. E f, abbiamo già visto, è uguale a k più l. Quindi, più k più l. Di nuovo, ho appena riscritto questa parte qui, in termini di questi angoli componenti. E ora qualcosa di molto interessante sta per accadere, perché sappiamo quanto sono queste somme. Perché sappiamo che g più k più o è 180 gradi. Sono le ampiezze degli angoli di questo primo triangolo qui, questo triangolo qui. g più o più k è 180 gradi. g -- uso un nuovo colore. Per questo triangolo qui, sappiamo che g più o più k è uguale a 180 gradi. Quindi, se li sbarriamo possiamo scrivere 180. E poi sappiamo anche -- vediamo, sto finendo i colroi -- sappiamo che p, per questo triangolo centrale qui, sappiamo che p più l più m è 180 gradi. Quindi li togliamo e sai che la somma sarà 180 gradi. E infine, questo è l'ultimo sforzo. Sappiamo che q più n più i è 180 gradi in questo ultimo triangolo. Anche questi tre sono 180 gradi. E così ora sappiamo che la somma degli angoli interni per questo pentagono irregolare-- in realtà è vero per qualsiasi pentagono-- è 180 più 180 oltre 180, che fa 540 gradi. Tutto questo è 540 gradi. E se vogliamo ottenere la somma di questi angoli, dobbiamo semplicemente sottrarre da 900. Quindi, 900 meno 540 fa 360 gradi. E abbiamo finito. Questo è uguale a 360 gradi.