Introduzione al volume

Gli esseri umani hanno sempre realizzato che alcune cose sono più lunghe di altre. Per esempio, questo segmento è più lungo di questo segmento. Ma non basta solo fare questo tipo di confronto. Vuoi essere in grado di misurare. Vuoi essere in grado di quantificare quanto è più lungo questo secondo segmento rispetto al primo. E come facciamo? Beh, definiamo un'unità di lunghezza. Se questa è la nostra unità di lunghezza, diciamo che è 1 unità, allora possiamo dire: quante di queste unità di lunghezza stanno in ognuno di questi segmenti? Il primo segmento sembra... possiamo mettere una unità e poi un'altra, perciò sembra che sia lungo due unità. Mentre questo sembra... vediamo... 1, 2, 3 unità. Questo è di 3 unità. E qui sto dicendo solo unità. A volte come convenzione definiamo il centimetro, la cui unità appare più o meno così. Apparirà in modo un po' diverso in base al tuo schermo. Oppure possiamo usare il pollice, che appare più o meno così. Oppure il piede, che non sono in grado di rappresentare su questo schermo per quanto ho disegnato grandi il pollice e il centimetro. Esistono diverse unità che possiamo usare per misurare. Ma ora pensiamo a più dimensioni. Questo era un caso uni-dimensionale. 1D Perché 1 dimensione? Beh, posso misurare solo la lunghezza. Ma ora passiamo a un caso 2D. Passiamo a 2 dimensioni, dove gli oggetti possono avere una lunghezza e una larghezza, o una larghezza e un'altezza. Immaginiamo due figure più o meno così. Diciamo che questa è una. Questa è una. E guarda, ha una larghezza e ha un'altezza. Oppure puoi vederlo come larghezza e lunghezza, come preferisci. Diciamo che questa qui è una figura. E diciamo che questa è l'altra. Questa qui è l'altra. Provo a disegnarle bene. Ora, lo ripeto, siamo in 2 dimensioni. E vogliamo sapere... quanto spazio stanno occupando in 2 dimensioni? Cioè, quanta area sta occupando ciascuna di queste? Beh, di nuovo, possiamo semplicemente fare un confronto. La seconda, se immagini che sia un tappeto o un rettangolo, il secondo rettangolo occupa più spazio sul mio schermo rispetto al primo, ma voglio poterlo misurare. Come lo misuriamo? Beh, definiremo un'unità quadrata. Invece di avere solo un'unità di lunghezza, ora abbiamo 2 dimensioni. Dobbiamo definire un'unità quadrata. Quindi creiamo la nostra unità quadrata. E l'unità quadrata sarà definita come un quadrato, con larghezza e altezza entrambe uguali all'unità di lunghezza. La sua larghezza è di un'unità e la sua altezza è di un'unità. Perciò questo spesso lo chiameremo 1 quadrato unitario. Spesso dirai che è 1 unità. E se metti questo 2 qui sopra, questo vuol dire proprio 1 unità quadrata. E invece di scrivere unità, questo poteva essere un centimetro. Allora sarebbe stato 1 centimetro quadrato Ma ora possiamo usarlo per misurare queste aree. Prima abbiamo detto: quante di queste unità di lunghezza entrano in questi segmenti? E ora possiamo dire: quante di queste unità quadrate entrano qui? Possiamo prendere uno dei quadrati unitari e dire, ok, copre un po' di spazio. Ma abbiamo bisogno di altre unità per coprire tutto. Allora qui mettiamo un altro quadrato unitario. Un altro quadrato unitario qui. Mettiamo un altro quadrato unitario qui. Wow, 4 quadrati unitari coprono esattamente questa figura. Allora diremo che questa figura ha un'area di 4 unità quadrate, o 4 quadrati unitari. E questa qui? Beh qui sembra che posso metterne 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Qui ho messo 9 unità, 9 unità quadrate. Continuiamo. Noi viviamo in un mondo tridimensionale. Perché limitarci a 1 o 2 dimensioni? Andiamo nel caso 3D. E di nuovo, quando le persone dicono 3D, parlano proprio di 3 dimensioni. Parlano di 3 diverse direzioni in cui puoi misurare le cose. Qui c'era solo la lunghezza. Qui lunghezza e larghezza, o larghezza e altezza. E qui c'è larghezza, altezza e profondità. Lo ripeto: se hai, diciamo, un oggetto, e ora siamo in 3 dimensioni, come il mondo in cui viviamo, e poi hai un altro oggetto fatto così, sembra che il secondo oggetto occupi più spazio del primo oggetto. Sembra che abbia un volume più grande. Ma come lo misuriamo? E ricorda, il volume è quanto spazio occupa qualcosa in 3 dimensioni. L'area è quanto spazio occupa qualcosa in 2 dimensioni. La lunghezza è quanto spazio occupa qualcosa in 1 dimensione. Ma quando pensiamo allo spazio, in genere pensiamo a 3 dimensioni. Quanto spazio occupi tu nel mondo in cui viviamo? Come abbiamo fatto prima, possiamo definire invece che un'unità di lunghezza o un'area unitaria, possiamo definire un'unità di volume, o cubo unitario. Facciamolo. Definiamo la nostra unità cubica. Ed è un cubo, quindi la sua lunghezza, la sua larghezza e la sua altezza avranno lo stesso valore. Sto facendo del mio meglio per disegnare un cubo. E sono tutti di 1 unità. Sarà alto 1 unità, profondo 1 unità e largo 1 unità. Allora per misurare il volume possiamo dire, beh, quanti di questi cubi unitari entrano in queste diverse forme? Questa qui, forse non lo vedi. Posso spezzarla in... cerco di farlo bene così possiamo contarli. È difficile vederli perché alcuni cubi stanno dietro. Ma se li pensi come due strati, uno strato apparirà così. Uno strato appare così. E immagina due cose come questa, messe una sopra all'altra. Avremo 1, 2, 3, 4 cubi. E avremo 2 di questi, messi uno sopra all'altro. Quindi 8 cubi unitari. Cioè 8 unità cubiche di volume. E qui? Se proviamo a mettere... vediamo se riesco a disegnarlo bene. Apparirà più o meno così. E ovviamente, è difficile da disegnare. Se facciamo finta di togliere questo, avrai in pratica una pila fatta di 3 pezzi che appariranno più o meno così. Sto facendo del mio meglio con i disegni. Tre parti che appariranno più o meno come quello che sto per disegnare. Appariranno così. Tre di questi messi uno sopra all'altro, e ottieni questo qui. E ognuno di questi ha 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 cubi. 9 per 3, e avrai 27 unità cubiche qui. Spero che questo ti abbia aiutato a riflettere su come misuriamo le cose, soprattutto su come misuriamo le cose in diversi numeri di dimensioni, soprattutto in 3 dimensioni, che è quello che chiamiamo volume.