Misurare il volume come area per lunghezza

Ho qui questa figura. Puoi chiamarla prisma rettangolare. E voglio misurare il suo volume. Definisco il mio cubo unitario come un cubo di 1 centimetro per 1 centimetro per 1 centimetro. Ha larghezza 1 centimetro, profondità 1 centimetro, altezza 1 centimetro. E lo chiamerò... è 1 centimetro cubo. Voglio misurare questo volume in termini di centimetri cubi. Abbiamo già visto che possiamo farlo dicendo: quanti di questi centimetri cubi entrano in questa forma senza sovrapporli? Se avevamo questo in mano, potevamo guardarlo e provare a contare, ma qui è difficile da vedere perché alcuni cubi sono nascosti dietro a quelli che vediamo. Quindi proverò una tattica diversa. Per prima cosa, pensiamo a cosa possiamo vedere. Vediamo che, se misuriamo le dimensioni, la sua larghezza è di 2 unità. È largo 2 centimetri. L'altezza è 4 unità, e abbiamo definito il centimetro come unità, quindi è alto 4 unità, cioè la sua altezza qui è 4 centimetri. Ed è profondo 3 unità, cioè questa dimensione qui è 3 centimetri. Voglio capire se in qualche modo possiamo usare questi numeri per calcolare quanti centimetri cubi entrano in questa figura. E il primo modo in cui ragiono è guardando le fette. Prenderò questa fetta qui, una fetta della nostra figura. E pensiamo a come, usando questi numeri, possiamo capire quanti cubi unitari entrano in questa fetta. È larga 2 centimetri e alta 4 centimetri. E potresti dire: "Ehi Sal, posso semplicemente contare!" "Ci sono 8 quadratini qui!" Ma se fossero stati tantissimi? Sarebbe stato molto più difficile. E puoi immaginare che potevo semplicemente moltiplicare la larghezza per l'altezza, e questo mi dava l'area di questa superficie qui. Ed è profonda solo 1, quindi mi dava anche il numero di cubetti. Facciamolo. Troviamo l'area. Sarà 2 centimetri per 4 centimetri. Questo ci dà l'area. E poi se vogliamo trovare il numero di cubetti, sarà anche equivalente al numero di cubi. Abbiamo 8 centimetri quadrati di area e il numero di cubetti è 8. E se vogliamo il numero di cubi nell'intera figura, dobbiamo solo moltiplicare per il numero di fette. E vediamo che abbiamo 1, 2, 3 fette. È profondo 3 centimetri. Quindi moltiplichiamo per 3. Abbiamo preso l'area di una superficie. Abbiamo preso l'area di questa superficie e poi l'abbiamo moltiplicata per la profondità e questo ci dà il numero di cubetti, perché l'area della superficie ci dà il numero di cubetti in una fetta, che è profonda 1 cubo. E poi abbiamo 3 fette come questa. Quindi avremo... questa è 1 fetta. Avremo un'altra fetta, e poi ancora un'altra fetta per ricostruire la figura iniziale. 2 centimetri per 4 centimetri per 3 centimetri ci dà il nostro volume. Vediamo se funziona. 2 per 4 fa 8, per 3 fa 24. Lo faccio con il rosa. 24 centimetri cubi. Questo è un modo di misurare il volume. Ora, ci sono molte superfici qui. Io ho scelto a caso questa superficie, ma avrei potuto sceglierne un'alta. Potevo scegliere questa superficie qui e fare esattamente la stessa cosa. Prendiamo questa superficie e facciamo esattamente la stessa cosa. Questa superficie è 3 centimetri per 4 centimetri. Lo faccio in blu. Cambiare i colori è sempre difficile. La sua area sarà 12 centimetri quadrati, l'area di questa superficie. E 12 è anche il numero di cubetti che abbiamo in questa fetta. Allora, quante fette ci servono per ricostruire la figura iniziale? Beh ci servono... è profonda 2 centimetri. Questa è profonda solo 1 centimetro, quindi ci servono 2 fette per ricostruire la figura iniziale. Quindi in pratica possiamo trovare l'area di questa superficie, che è 3 per 4, e poi moltiplicarla per la larghezza, per quante fette ci servono, cioè per 2. E di nuovo, 3 per 4 fa 12, per 2 fa 24. Non ho scritto le unità prima. Ma ci dice quanti centimetri cubi abbiamo, quante unità cubiche entrano. Quindi, lo ripeto, sono 24 centimetri cubi e puoi immaginare che puoi fare la stessa cosa non con questa superficie e non con questa superficie ma con la superficie di sopra. La superficie di sopra è profonda 3 centimetri. E larga 2 centimetri. Allora puoi vedere che la sua area è 3 centimetri per 2 centimetri. L'area è -- lo faccio dello stesso colore 3 centimetri per 2 centimetri, che fa 6 centimetri quadrati. E questo ti dice anche che ci sono 6 cubetti in questa fetta profonda 1 cubo. Ma quante di queste fette ti servono? Tutto questo è alto 4 centimetri, e questa fetta è alta solo 1 centimetro quindi te ne servono 4. 2, 3... provo a disegnarlo bene... e 4. Ti servono 4 di queste. Per calcolare l'intero volume dovrai moltiplicare questo per 4 centimetri. E di nuovo, 3 per 2 fa 6 centimetri quadrati, per 4 fa 24 centimetri cubi. Quindi non importa in quale ordine moltiplichi. Puoi vederlo così e fare l'area di un lato e poi moltiplicarlo per la profondità. Oppure puoi prendere l'area di un'altra superficie e moltiplicarla per l'altezza, o per la larghezza o la profondità. Queste sono tutte le possibilità. Ma mostrano che non è importante in quale ordine moltiplichi le dimensioni. Puoi fare prima 2 per 4 e poi per 3. Oppure puoi fare prima 3 per 4 e poi per 2. E puoi anche fare prima 2 per 3 e poi per 4. Quando moltiplichi, non importa in quale ordine lo fai. Quindi se hai un prisma rettangolare come questo e conosci le sue 3 dimensioni, sai che è largo 2 centimetri, profondo 3 centimetri e alto 4 centimetri puoi dire, ehi, il volume di questa cosa è il numero di cubetti unitari il numero di centimetri cubi che entrano è 2 centimetri per 4 centimetri per 3 centimetri e abbiamo visto già 3 volte che è 24 centimetri cubi.