Problemi su MCD e mcm

William e Luis sono in diverse classi di fisica a Santa Rita. L'insegnante di Luis dà sempre esami con 30 domande, mentre l'insegnante di William dà più spesso esami con solo 24 domande. L'insegnante di Luis assegna anche tre progetti all'anno. Anche se le due classi devono fare esami diversi, le insegnanti hanno detto che entrambe le classi-- lo sottolineo-- entrambe le classi avranno lo stesso numero totale di domande d'esame ogni anno. Qual è il minimo numero di domande d'esame che la classe di William o di Luis può aspettarsi in un anno? Pensiamo a cosa sta succedendo. Se pensiamo all'insegnante di Luis che dà 30 domande per test, così dopo il primo test, avranno fatto 30 domande. Questo qui è 0. Poi dopo il secondo test saranno 60. Poi dopo il terzo test saranno 90. E dopo il quarto test saranno 120. E dopo il quinto test, se c'è il quinto il test, saranno-- se fanno tutti questi test-- si arriva a 150 domande totali. E potremmo continuare con tutti i multipli di 30. Probabilmente questo suggerisce cosa stiamo cercando. Stiamo cercando i multipli dei numeri. Vogliamo il minimo multiplo. Ecco, questo è con Luis. E per William? L'insegnante di William, dopo il primo test, saranno 24 domande. Poi arriveranno a 48 dopo il secondo test. Poi arriveranno a 72 dopo il terzo test. Poi arriveranno a 96. Sto solo facendo i multipli di 24. Arriveranno a 96 dopo il quarto test. E poi, dopo il quinto test, arriveranno a 120. E se c'è un sesto test, allora arrivano a 144. E potremmo andare avanti. Ma vediamo cosa ci stanno chiedendo. Qual è il minimo numero di domande d'esame che la classe di William o Luis può aspettarsi in un anno? Beh, il minimo numero è il punto in cui hanno lo stesso numero di domande d'esame, nonostante il fatto che le prove avevano un numero diverso di elementi. E vedi che il punto in cui hanno lo stesso numero è a 120. Questo accade a 120. Entrambi possono avere esattamente 120 domande anche se l'insegnante di Luis ne dà 30 alla volta e l'insegnante di William ne dà 24 alla volta. E quindi la risposta è 120. E guarda, hanno un diverso numero di esami. Luis aveva uno, due, tre, quattro esami mentre William avrà uno, due, tre, quattro, cinque esami. Ma entrambi avranno 120 domande totali. Ora pensando in termini matematici o con la notazione di minimo comune multiplo che abbiamo visto prima, qui in realtà ci viene chiesto qual è il minimo comune multiplo di 30 e 24. E questo minimo comune multiplo è pari a 120. Ci sono altri modi per trovare il minimo comune multiplo, oltre che guardare i multipli come abbiamo fatto. Puoi fare la scomposizione in fattori primi. 30 è 2 per 15, che è 3 per 5. Quindi possiamo dire che 30 è uguale a 2 per 3 per 5. E 24-- uso un colore diverso da questo blu-- 24 è uguale a 2 per 12. 12 è uguale a 2 per 6. 6 è uguale a 2 per 3. Quindi 24 è uguale a 2 per 2 per 2 per 3. Quindi, un altro modo per trovare il minimo comune multiplo, se non abbiamo fatto questo esercizio qui, è, guarda, il numero deve essere divisibile per 30 e per 24. Se è divisibile per 30, avrà 2 per 3 per 5 nella sua scomposizione in fattori primi. Che essenzialmente è 30. Perciò questo lo rende divisibile per 30. E per essere divisibile per 24, la sua scomposizione in fattori primi deve avere tre 2 e un 3. Abbiamo già un 3. E abbiamo già un 2, quindi ci servono solo altri due 2. Quindi 2 per 2. Così-- prendo un po' di spazio-- questo qui lo rende divisibile per 24. Perciò questo è essenzialmente la scomposizione in fattori primi del minimo comune multiplo di 30 e 24. Se togli uno qualsiasi di questi numeri, non sarò più divisibile per uno di questi due numeri. Se togli un 2, non sarà più divisibile per 24. Se togli un 2 o un 3. Se togli un tre o un cinque, non sarà più divisibile per 30. Se moltiplichi tutti questi, questo 2 per 2 per 2 fa 8, per 3 è 24, per 5 è 120. Ora facciamo un altro di questi. Umama ha appena comprato un pacchetto di 21 raccoglitori. Scrivo questo numero. 21 raccoglitori. Ha comprato anche un pacchetto da 30 matite. Vuole usare tutti i raccoglitori e le matite per creare dei set identici di materiali per i suoi compagni di classe. Qual è il più grande numero di set identici che Umama può fare utilizzando tutti i materiali? Il fatto che stiamo parlando del più grande è un indizio che probabilmente avremo a che fare con il massimo comun divisore. E che dovremo dividere questi oggetti. Vogliamo dividerli entrambi nel più grande numero di set identici. Ci sono un paio di modi per ragionare su questo. Pensiamo a qual è il massimo comun divisore di entrambi questi numeri. Posso chiamarlo anche il massimo fattore comune. Il massimo comune divisore di 21 e 30. Qual è il numero più grande che divide entrambi? Possiamo trovarlo con i fattori primi. Possiamo elencare tutti i fattori normali e vedere qual è il più grande in comune. Oppure possiamo guardare la scomposizione in fattori primi. Usiamo il metodo della scomposizione in fattori primi. 21 è equivalente a 3 per 7. Sono due numeri primi. 30 è, vediamo, è 3-- beh, posso scriverlo così-- è 2 per 15. Lo abbiamo appena visto. E 15 è 3 per 5. Allora qual è il più grande numero di fattori primi che sono comuni a entrambe le scomposizioni? Qui hai un 3. Poi nient'altro. Perciò questo sarà uguale a 3. Questo in pratica ci sta dicendo, guarda, possiamo dividere entrambi questi numeri per 3 e questo ci darà il più grande numero di set identici. Quindi, per essere chiari su quello che stiamo facendo. Abbiamo risposto che è 3, ma per visualizzare questa domanda, disegniamo 21 raccoglitori. Quindi i 21 raccoglitori: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21. E poi 30 matite, le faccio in verde. Quindi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Faccio un copia e incolla. È un po' noioso. Copia e incolla. Ecco, questo è 20, incollo e sono 30. Ora abbiamo capito che 3 è il numero più grande che è divisore di entrambi i numeri senza resto. Allora posso dividere entrambi in gruppi da 3. Per i raccoglitori, ho potuto fare tre gruppi da 7. E poi per le matite, ho potuto fare tre gruppi da 10. Quindi, se ci sono tre persone che stanno entrando in questa classe, posso dar loro 7 raccoglitori e 10 matite. Ma questo è il più grande numero di set identici che Umama può fare. Avrà tre set. Ogni set avrà 7 raccoglitori e 10 matite. E in pratica stiamo solo pensando per quale numero possiamo dividere entrambi i numeri senza avere resto, il numero più grande per il quale dividere entrambi.