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Dimostrazione: Angoli opposti di un parallelogramma

Sal dimostra che gli angoli opposti di un parallelogramma sono congruenti. Creato da Sal Khan.

Trascrizione del video

Quello che voglio fare in questo video è dimostrare che gli angoli opposti di un parallelogramma sono congruenti. Per esempio, vogliamo dimostrare che CAB è congruente a BDC, cioè che questo angolo è uguale a questo angolo, e che ABD, che è questo angolo, è congruente a DCA, che è questo angolo qui. E per farlo, basta pensare che abbiamo delle rette parallele, e alcune trasversali. E le rette parallele e le trasversali in realtà si scambiano i ruoli. Prolunghiamole in modo che sembrino meglio delle trasversali che intersecano le rette parallele. Potresti mettere in pausa e cercare di dimostrarlo da solo, perché in realtà è una conseguenza degli angoli alterni interni e degli angoli corrispondenti delle trasversali che intersecano le rette parallele. Diciamo che questo angolo qui-- lo faccio con un colore nuovo dato che ho già utilizzato il giallo. Iniziamo qui con l'angolo BDC. E lo segno qui. L'angolo BDC, qui-- è un angolo alterno interno con questo angolo qui. E in realtà, possiamo estendere fino a questo punto qui. Questo lo posso chiamare punto E, se voglio. Allora posso dire che l'angolo CDB è congruente all'angolo EBD per gli angoli alterni interni. Questa è una trasversale. Queste due rette sono parallele. AB o AE è parallela a CD. Giusto. Ora, se cambiamo un po' il modo di pensare, e consideriamo invece BD e CA come rette parallele e ora vediamo AB come trasversale, allora vediamo che l'angolo EBD sarà congruente all'angolo BAC, perché sono angoli corrispondenti. Quindi l'angolo EBD sarà congruente all'angolo BAC, o potrei dire CAB. Sono angoli corrispondenti. E quindi se questo angolo è congruente a questo angolo e questo angolo è congruente a questo angolo, allora sono congruenti tra loro. Quindi -- per essere sicuri di fare bene- CDB, o potremmo dire BDC, è congruente all'angolo CAB. Così abbiamo dimostrato questa prima parte qui. E poi per dimostrare che questi due sono congruenti, usiamo la stessa logica. Quindi prima di tutto, vediamo questa come la trasversale. Consideriamo AC come la trasversale di AB e CD. E vado qui e mi creo un altro punto. E chiamo questo punto F. Così sappiamo che l'angolo di ACD è congruente all'angolo FAC perché sono angoli alterni interni. E poi cambiamo un po' il modo di vederlo. E vediamo AC e BD come le rette parallele e AB come trasversale. Allora l'angolo FAC è congruente all'angolo ABD, perché sono angoli corrispondenti. L'angolo F e l'angolo ABD sono angoli corrispondenti. Prima abbiamo visto questo come trasversale, AC come trasversale di AB e CD, che sono rette parallele. Ora AB è trasversale e BD e AC sono le rette parallele. E ovviamente, se questo è congruente a questo, che è congruente a questo, allora questi due devono essere congruenti tra loro. Così vediamo che gli angoli opposti sono congruenti -- o se abbiamo un parallelogramma, allora gli angoli opposti sono congruenti.