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Corso: Algebra I > Unità 9

Lesson 1: Sistemi equivalenti di equazioni e metodo di eliminazione

Metodo di eliminazione (sistemi di equazioni lineari)

Il metodo di eliminazione è una tecnica per risolvere sistemi di equazioni lineari. Questo articolo rivede la tecnica con esempi e ti dà anche la possibilità di provare il metodo tu stesso.

Cos'è il metodo di eliminazione?

Il metodo di eliminazione è una tecnica per risolvere sistemi di equazioni lineari. Studiamolo attraverso un paio di esempi.

Esempio 1

Ci viene chiesto di risolvere questo sistema di equazioni:

\begin{aligned} 2 y + 7 x & = - 5 \\ 5 y - 7 x & = 12 \end{aligned}

Notiamo che la prima equazione ha un termine

7 x

e la seconda equazione ha un termine

- 7 x

. Questi termini verranno annullati se sommiamo le equazioni insieme, ovvero elimineremo i termini in

x

\begin{aligned} 2 y + 7 x & = - 5 \\ + 5 y - 7 x & = 12 \\ 7 y + 0 & = 7 \end{aligned}

Risolvendo per

y

, otteniamo:

\begin{aligned} 7 y + 0 & = 7 \\ 7 y & = 7 \\ y & = 1 \end{aligned}

Inserendo questo valore nella nostra prima equazione, risolviamo l'altra variabile:

\begin{aligned} 2 y + 7 x & = - 5 \\ 2 \cdot 1 + 7 x & = - 5 \\ 2 + 7 x & = - 5 \\ 7 x & = - 7 \\ x & = - 1 \end{aligned}

La soluzione al sistema è

x = - 1

y = 1

Possiamo verificare la nostra soluzione inserendo questi valori nelle equazioni originali. Proviamo la seconda equazione:

\begin{aligned} 5 y - 7 x & = 12 \\ 5 \cdot 1 - 7 (- 1) & \overset{?}{=} 12 \\ 5 + 7 & = 12 \end{aligned}

Sì, la soluzione è corretta.

Se non ti senti sicuro sul perchè questo processo funzioni, guarda questo video introduttivo per avere una spiegazione completa.

Esempio 2

Ci viene chiesto di risolvere questo sistema di equazioni:

\begin{aligned} - 9 y + 4 x - 20 & = 0 \\ - 7 y + 16 x - 80 & = 0 \end{aligned}

Possiamo moltiplicare la prima equazione per

- 4

in modo da ottenere un'equazione equivalente che ha un termine

- 16 x

. Il nostro nuovo (ma equivalente!) sistema di equazioni sarà questo:

\begin{aligned} 36 y - 16 x + 80 & = 0 \\ - 7 y + 16 x - 80 & = 0 \end{aligned}

Sommando le equazioni per eliminare i termini in

x

, otteniamo:

\begin{aligned} 36 y - 16 x + 80 & = 0 \\ + - 7 y + 16 x - 80 & = 0 \\ 29 y + 0 - 0 & = 0 \end{aligned}

Risolvendo per

y

, otteniamo:

\begin{aligned} 29 y + 0 - 0 & = 0 \\ 29 y & = 0 \\ y & = 0 \end{aligned}

Inserendo questo valore nella nostra prima equazione, risolviamo l'altra variabile:

\begin{aligned} 36 y - 16 x + 80 & = 0 \\ 36 \cdot 0 - 16 x + 80 & = 0 \\ - 16 x + 80 & = 0 \\ - 16 x & = - 80 \\ x & = 5 \end{aligned}

La soluzione al sistema è

x = 5

y = 0

Vuoi vedere un altro esempio di come risolvere un problema complicato con il metodo di eliminazione? Guarda questo video.

Esercitazione

Problema 1

Risolvi il seguente sistema di equazioni.

\begin{aligned} 3 x + 8 y & = 15 \\ 2 x - 8 y & = 10 \end{aligned}

x =

y =

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