Esempio di problema sui triangoli 30-60-90

Quindi abbiamo questo rettangolo, Ci viene detto che la lunghezza di AB è pari a 1 questo dato è evidenziato qua, AB è pari a 1 E poi ci dicono che BE e BD trisecano l'angolo ABC Quindi BE e BD trisecano l'angolo ABC Questo significa che l'angolo è diviso in tre angoli uguali Questo significa che quest'angolo,è uguale a quest'angolo e quest'angolo è uguale al terzo angolo Quello che vogliono che scopriamo è: Qual è il perimetro del trangolo BED, il triangolo BED Quindi in pratica c'è questo triangolo in mezzo a questo rettangolo Quindi a prima vista sembra un problema parecchio difficile Perchè pensi: qual è la larghezza di questo rettangolo come faccio a cominciare,mi hanno dato solo questo lato qua. In realtà ci hanno dato molte informazioni, presupposto che sappiamo che è un rettangolo, Abbiamo quattro lati e abbiamo quattro angoli, i lati sono paralleli, e gli angoli sono tutti di 90 gradi, Il che è più che sufficiente per stabilire che si tratta di un rettangolo Quindi sappiamo questo: I lati opposti di un rettangolo hanno la stessa lunghezza Questo lato misura 1,poi questo lato misura 1 L'altra cosa che sappiamo è che ques'angolo è trisecato Ora che sappiamo qual è la misura di quest'angolo Era un angolo retto,misurava 90 gradi Quindi se dividi questo in tre parti uguali, ottieni che quest'angolo è di 30 gradi poi quest'angolo misura 30 gradi e anche quest'angolo qua misura 30 gradi. E adesso capiamo che abbiamo a che fare con un paio di triangoli 30,60,90 Quindi quest'altro angolo deve essere di 60 gradi così quello rimanente deve essere di 60 gradi Questo triangolo qua,hai 30,hai 90, quindi questo deve essere 60,perchè devi avere come somma 180. Dunque triangolo 30,60,90 triangolo 30,60,90, e puoi anche scoprire le misure di questo trangolo anche se non sarà un triangolo rettangolo Ma sapendo quello che sappiamo sui triangoli 30,60,90 Se abbiamo solo un lato di questi possiamo scoprire gli altri lati Quindi se per esempio, qua, abbiamo il lato pù corto Abbiamo il lato opposto del lato da 30 gradi, ora non importa,se il lato da 30 misura 1 allora il lato dell'angolo da 60 gradi sarà quello moltiplicato per radice di 3 Quindi questa misura sarà radice di 3 E ciò è piuttosto utile perchè ora abbiamo scoperto la lunghezza dell'intera base di questo rettangolo qua Ora abbiamo usato la nostra conoscenza dei triangoli 30,60,90 vedi,se questo ti è sembrato un po'misterioso, o il modo in cui l'ho scoperto ti incoraggio a guardare il video a riguardo. Sappiamo che i triangoli 30,60,90 I loro lati hanno il rateo di 1 : radice di 3 : 2 Quindi questo è 1,questo è un lato da 30 gradi, questo sarà quello moltiplicato per radice di 3 a l'ipotenusa qua sarà quello moltiplicato per 2. Dunque questa misura sarà 2 volte, la misura di questo lato,dunque 2 moltiplicato per 1 fa 2. Quindi questo è abbastanza interessante,vediamo se possiamo fare qualcosa di simile con quest'altro lato qua Qui l'1 non è il lato opposto al lato da 30 gradi Qui l '1 è il lato opposto al lato da 60 gradi Questo è il lato opposto al lato da 60 Quindi ancora una volta,se moltiplichiamo questo lato per la radice di 3, dovremmo ottenere questo lato qua Questo è quello da 60,ricorda questo 1,così qua questo è 1, questo è il lato da 60 gradi, quindi questo deve essere (1/radice di 3) volte questo lato Lo scrivo: 1/radice di 3 E la ragione per cui sono stato in grado di ottene questo è che, qualunque sia la misura di questo lato,moltiplicandola per radice di 3 Dovrei ottenere questo lato qua, Dovrei ottenere il lato da 60 gradi Se prendo il lato da 60 gradi se lo divido per la radice di 3 dovrei ottenere il lato più corto ,il lato da 30 gradi comincio con il lato da 60 gradi,divido per la radice quadrata di 3, E ottengo proprio quello là E poi l'ipotenusa sarà sempre il doppio della lunghezza del lato opposto all'angolo da 30 gradi Quindi questo è un lato opposto all'angolo da 30 gradi, l'ipotenusa è sempre il doppio di quella Quindi questo è un lato opposto all'angolo da 30 gradi, l'ipotenusa è sempre il doppio di questo. Allora sarà pari a (2/ radice di 3) Quindi stiamo andando bene, Dobbiamo scoprire il perimetro di questo triangolo interno questo qua Abbiamo già scoperto che un lato è 2, scopriamo che un altro lato è 2/radice di 3 E poi,beh,ci rimane solo da capire quanto misura ED. E possiamo farlo perchè sappiamo che AD sarà lungo quanto BC Sappiamo che questa intera misura , poichè abbiamo a che fare con un rettangolo, è la radice di 3 Questa intera misura,quest'intero segmento vale radice di 3 e se questo segmento AE vale 1/radice di 3, allora questa misura qua,ossia ED,varrà radice di 3-( 1/radice di 3) Questa lunghezza,meno quella lunghezza là E ora per calcolare il perimetro non ci sono molti problemi, dobbiamo solo sommare queste quantità e semplificare Quindi sarà --scrivo che il perimetro del triangolo BED è uguale a ,questo è il simbolo per indicare il perimetro, Non mi andava di scrivere inutilmente-- è uguale a 2 fratto la radice di 3 sommato alla radice di 3 -1/radice di 3, (ripete a voce il numero scritto)+2 E ora non resta altro che semplificare i radicali Puoi usare una calcolatrice E usare una approssimazione decimale Vediamo,abbiamo un (2/radice di 3)-(1/radice di 3), Quindi ci rimarrà 1/ radice di 3 (ripete i calcoli a voce) (ripete i calcoli a voce) e poi sommiamo la radice di 3 più 2 Ora posso razionalizzare questo Se moltiplico il numeratore e il denominatore per la radice di 3 Questo mi darebbe la radice di 3 fratto 3 + la radice di 3 che risulta,riscrivendo : + (3* radice di 3) / 3 Giusto,ho appena moltiplicato questo per 3 su 3 + 2 e questo ci dà questo,ora c'è la parte del rullo di tamburi quindi (1 <i>radice di 3)/3 + (3 </i>radice di 3)/ 3+2 e tutto questo con m.c.m= 3 dovrebbe darci 4*radice di 3 /3 + 2 In cui puoi porre il 2 per primo, alcuni preferiscono scrivere la parte non-irrazionale prima della parte irrazionale Comunque abbiamo finito di calcolare il perimetro di questo triangolo interno BED,questo evidenziato.